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数量:15 (4)

强烈'一个¯半群

Jyothi V^1*Sarala Y¹,Madhusudhana Rao D²和饶Nageswara T³

¹KL大学数学系尔,印度安得拉邦

²数学系,幼虫,印度安得拉邦

³数学系,载量R &喷嘴速度Tenali R学院印度安得拉邦

*通信:: Jyothi VKL大学数学系尔,印度安得拉邦电话:0863 - 2399999电子邮件: (电子邮件保护)

收到:08年9月,2017;接受:2017年10月23日;发表:2017年的10月25日

引用:Jyothi V, Sarala Y, Madhusudhana Rao D, et al .强烈'半群。Int J化学科学。2017;15 (4):206

文摘

介绍了概念prime-semigroupsβ-insulator和强烈。几个特征的。

关键字

β绝缘子;强烈';左翼和右翼α-annihilator

介绍

一般半群的概念是由Anjaneyulu [1]。萨哈定义半群的推广半群如下。各种各样的-半群已经被许多作者广泛研究[2- - - - - -6]。

本文介绍和研究β-insulator和强烈'的结构-半群。摘要许多重要结果强烈'理想的半群一直延伸到强烈的主要理念-半群。

总理和半素理想-半群的

定义1.1:一个的一个子集半群S是一个m-system如果

定义1.2:一个的一个子集半群S是一个n -系统

引理1.3:让年代是一个半群。一个理想的年代是半素当且仅当一个^C是一个n——系统。

证明:假设一个是半素理想和让然后因为是半素这意味着是一个n -系统。

相反,假设是一个n -系统,让。我们将证明自是一个n -系统。<一>这因此因此,一个是半素理想。

定义1.4:对于任何一个理想问的半群S,我们定义n (问元素的集合x这样,每n——系统包含x包含一个元素问。

定义1.5:一个理想的问在一个半群S据说对吧主如果由于任何理想U和V,UV意味着U⊆m (Q)或V⊆Q。

定理1.6:让年代是一个半群的任何权利主要理想的P S,以下是等价的

(我)P是一个典型的理想。

(2)P = n (P)。

(3)P是一种半素理想。

证明:(i)⇒(ii)让P素理想然后P⊆n (P)是显而易见的。另一方面,让x∈n (P)和假设x∉P。

自P是'P^C是一个米系统和x∈P^C。然后有一个n系统N⊆P^C这样x∈N。但从P N是不相交的,因此x∉N (P),这是一个矛盾。因此x∈P,所以n(P)⊆P

(2)⇒(iii)是显而易见的。

(3)⇒(我)的假设P是一种半素理想。我们必须证明P是一个典型的理想。让U和V有理想的年代与。由于P是主要的,意味着自P是一种半素理想,P = m (P)。因此,U⊆P或V⊆P。因此P是一个典型的理想的年代。

定理1.7:对于任何一个理想P的年代,P'当且仅当吗P是小学和半素。

证明:假设P是一个典型的理想。我们必须证明P是主要的。让U和V有理想的年代这样UV⊆P。自P是一个典型的理想,U⊆n(P)或V⊆P由定理2.6。现在我们的索赔要求n (P)⊆米(P),让x∈n (P)和S是任何米——系统包含x。因为任何米——系统是一个n——系统,是一个n——系统包含x。自x∈n(P)的满足P。因此x∈米(P),因此U⊆n(P)或V⊆P意味着U⊆米(P)或V⊆P。因此P是一个主要的理想。由于每个素理想是半素理想,P是半素,因此主要的理想。

相反,假设P是小学和半素理想。由定理1.6,P是一个典型的理想。

强烈的'-半群的

定义2.1:让年代是一个半群。让年代据说是半素如果0是半素理想。据说是'如果(0)是一个典型的理想。

定义2.2:让年代是一个半群。如果A是一个子集的年代,我们定义了一个对α的零化子是一个正确的理想

定义2.3:让年代是一个半群。如果A是一个子集的年代,我们定义了一个左的α-annihilator是左理想

我们采用的符号年代^*来表示的非零元素。

定义2.4:一种权利β绝缘子的一个∈年代^*是一个有限子集的年代,米_β(一)这样,尽管

定义2.5:一个左β绝缘子的一个∈年代^*是一个有限子集的年代,米_β(一)这样对所有

定义2.6:一个半群S是悲伤的强烈'如果为每一个每个非零元素的年代,有一个正确的β绝缘子,是每一个和一个∈年代^*,有一个有限的潜艇米_β(一)这样,对于,α∈意味着b = 0。

定义2.7:半群S是伤心离开强烈'如果每个每个非零元素的年代,离开了β绝缘子,是每一个和一个∈年代^*,有一个有限的潜艇米_β(一)这样,对于

定义2.8:一个半群S是悲伤的离开了弱半素半群如果

定义2.9:一个半群S悲伤是对弱半素半群如果

定义2.10:一个半群S是悲伤弱半素半群如果是左和右弱半素。

定理2.11:让年代是一个半群的。Con annihilators then S is prime if S is strongly prime.

证明:假设年代强烈'是正确的。为了证明S ',让自年代是正确的强烈'每,存在一个对的β绝缘子米_β(一)了,然后存在在哪里因此是质数。

相反,假设是质数。我们必须证明年代强烈'是正确的。让并考虑正确的收集α-annihilator的理想形式我跑过去所有包含身份的有限子集的年代。因为年代满足d.c.c.右零化子,k .如果选择一个最小的元素我们可以找到一个元素由于年代是一个质数半群,它遵循从2.6定理存在b∈年代

让是一个包含身份的有限子集S和b。因为,,一个矛盾。这力量因此,年代有权利β-insulator自是任意的,每一个元素的有权利β-insulator同样,每一个元素有一个左β-insulator因此年代是一种强'-半群。

定义2.12:让年代是一个半群。左理想的年代我如果是必不可少的为所有的非零左理想J的年代。

定义2.13:奇异的理想半群S是理想的正确α-annihilator每个组成元素是一个重要的理想。

定理2.14:如果S是一个强烈'没有零半群遗赠人,那么奇异的理想是零。

证明:让年代是一种强'半群是一个单一的理想。假设存在一个元素这样让米_β(一)是一个正确的β绝缘子。因为是理想的,现在意味着然后aβbα。因为是单数,是必不可少的我们知道有限的交集很多基本权利的理想是零。自米_β(一)是有限的,,这是一个矛盾的β绝缘子米_β(一)因此一个= 0。

定义2.15:让年代是一个半群。让我们定义一个关系当且仅当对所有然后ρ是一种等价关系。让[x,α]表示的等价类L是半群定义的乘法这半群L叫做左算子半群-半群。

定理2.16:如果S是一个正确的强烈'半群,然后左边的操作符半群左(右)是正确的强烈'半群。

证明:假设年代强烈'是正确的半群。证明我是正确的'半群,足以证明L中的每个非零元素有一个正确的绝缘子。让然后存在这样年代以来强烈是正确的'每存在一个β绝缘子为∪_我因此对于任何现在修复考虑集合我们将证明是绝缘体这是足以证明然后我们声称意味着因此

通过因此,自是任意的,每个非零元素在L有一个对吧β绝缘子。同样的,如果离开了强烈' S,然后向左R的每个非零元素有一个β绝缘子。因此,L是强烈',R是左强烈'半群。

定理2.17:半群是弱半素年代强烈'且仅当其算子半群l是正确的强烈'和它的右算子半群R是左强烈'。

证明:假设L是一个正确的强烈'半群。为了证明S是一个强烈'半群,我们将证明每一个,每一个非零元素有权利β绝缘子。让自年代是左弱半素半群,自l是正确的强烈,存在一个绝缘体吗因此,对于任何考虑。我们现在声称是一个β绝缘子x,足以证明。让然后因此因此和这年代以来是信实的L \ R双模,y = 0。自是任意的,对于每一个,每一个非零元素年代有权利β绝缘子。因此强烈' S是一个权利半群。类似地,如果R是左强烈'然后半群S是一个左强烈'半群。匡威部分遵循从定理2.16。