原文

定义2

一个理想的三元半群的T是正则理想的如果任何正确的理想

横向的理想和左理想

备注1

从定义2,由此可见,T始终是一个包含常规正则理想和理想理想也是一个正则理想。

现在如果任何理想R,横向理想M和左理想L;RML包含一个正则理想

命题

一个三元半群T是一个普通的三元半群当且仅当T的{0}是一个常规的理想。

证明

让P三元半群的核理想即。所有非零理想的十字路口(T, P_r是所有的交集非零理想的T, P_米是所有的交集非零侧T和P的理想_l是所有的非零左理想的十字路口t .如果P ={0},那么显然P = P_r= P_米= P_l。

定理2

让T是一个三元半群和P = P_r= P_米= P_l。然后T是一个普通的三元半群当且仅当P T的正则理想。

证明

如果P = P_r= P_米= P_l={0},然后从命题证明如下。我们假设,

P = P_r= P_米= P_l≠{0}。让T是一个普通的三元半群。然后从命题,由此可见,{0}是一个普通T的理想。

现在,意味着P T的正则理想,通过使用备注1。

相反,让P t的正则理想任何正确的理想横向的理想和左理想T .由于购买力平价是一个对理想的T和P = P_r,我们有

因此,所以因此从定理2,接下去T是一个普通的三元半群。

推论1

让T是一个三元半群和P = P_r= P_米= P_l。然后T是一个普通的三元半群当且仅当每一个理想的T是普通的。

证明

假设T是一个普通的三元半群。然后从定理2,由此可见,P是一个常规的理想现在t P = P_r= P_米= P_l意味着每一个非零理想T包含正则理想P (T .因此,通过使用备注1,我们发现T是常规的每一个理想。

相反,如果T是常规的每个理想,那么P T的正则理想,因此从定理2,由此可见,T是一个普通的三元半群。

定理3

下列条件三元半群T是等价的:

(我)是一个普通T的理想。

(二)

(3)

(iv)对于一些和

证明

(我)⇒(2)假设一个正则理想t .我们注意的是,x, y, zT,

现在(因为是规则)。

再一次意味着

所以我们发现

2)⇒(3)y = x z =(2)(3)。

(3)⇒(iv)我们首先注意

我们有类似的,和

现在

因为,存在和这样

(iv)⇒(我)让R、M和L任何权利,横向和T分别这样左理想那么很明显,

再一次,让然后通过使用条件(iv),对于一些和自因此因此因此,一个普通的理想。

定理4

让一个正则理想三元半群的T .任何权利理想R,横向理想M和左理想L (T)然后

证明

假设任何权利理想R,横向理想M和左理想L (T)一个是t的正则理想呢

现在(因为是规则)

从定理4,我们有以下结果:

推论2

三元半群的正则和强不可约理想T T的素理想。

推论3

三元半群的每一个正则理想T T的半素理想。

定理5

证明

让T是一个普通的三元半群和T .然后是任何理想然后存在这样x=xax= xaxax。因为是一个理想的和因此

因此,因此是等幂的。

相反,假设每个T是幂等的理想。让P, Q, R 3 t的理想这意味着同时,再一次,因为是一个理想的(T)因此因此因此,通过定理2,T是一个普通的三元半群。

定理6

三元半群T(分别地。右)定期当且仅当每一个(分别地离开了。右)T的完全是半素理想。

证明

让T是一个左正则三元半群和L是任何左理想的假设由于T是左正则,存在一个元素这样因此我完全是半素。

相反,假设每一个离开(T)完全是半素理想。现在对任何是左理想的t .然后假说,Taa完全是半素理想的t .现在自Taa完全是半素,接下去所以存在一个元素这样一个= xaa。因此,常规。因为是任意的,由此可见,T是左正则。

同样,我们可以证明定理的正确的规律。

完全普通的三元半群

定义3

一对(p, q)三元半群的元素T被称为如果一对幂等pq (pqx) = pqx和pq = xpq (xpq)对所有(3]。

定义4

两个幂等双(p, q)和((r, s))三元半群的T被称为一个等价的,如果pqx = rsx xpq = xrs对所有(3]。

在符号我们写(p, q)~ ((r, s))。

定义5

一个元素x三元的T是完全正则半群如果Ǝ一个元素对幂等(一个x)和(x,)是等价的。

如果T是完全正常的所有元素,那么T叫做完全正常(3]。

定义6

三元半群的一个元素x T称为左正则Ǝ一个元素

定义7

7一个元素x的三进制T是右正则半群如果Ǝ一个元素

定理7

一个三元T是完全正则半群则左右普通T。

证明

假设T是一个完全普通的三元半群。让然后Ǝ一个元素和幂等双(x,)和(一个x)是等价的。xab = ax = b和bxa =伯灵顿对所有特别是现在,把b = x我们发现xax = axx xaa = xax。这意味着因此T左右定期。

定理8

三元半群T是左和右正则

证明

假设T左右定期。让然后和x = qxx。这意味着

现在x = xxp = x (xxp) p = x²(xpp) = x²(qxxpp) = x²(摘要)= x²q (qxx) p = x²问²(xxp) = x²问²x = x²问²qxx = x²问³x²因此对所有

定理9

如果T是三元半群对所有然后T是完全正常。

证明

假设对所有然后

现在在哪里这意味着T是常规。也这表明,幂等对(x、b)和(b, x)是等价的。

因此,T是一个完全普通的三元半群。

定义8

三元半群的子半群S T T的bi-ideal如果

定理10

一个三元T是完全正则半群三元半群当且仅当每个bi-ideal T完全半素。

证明

让T是一个完全普通的三元半群。任何bi-ideal t .让让P由于T是完全正常,从10定理,它遵循这意味着存在这样这表明P是完全半素。

相反,假定每个bi-ideal T完全半素。由于每个左和右理想的三元半群T是一个bi-ideal T,它遵循每一个左和右完全半素理想的T。因此,我们从定理6 T左右定期。现在通过使用定理9,我们发现T是一个完全普通的三元半群。

定理11

如果T是一个完全普通的三元半群,然后每bi-ideal T是等幂的。

证明

让T是一个完全普通的三元半群和P的bi-ideal显然T T是一个完全普通的三元半群。让然后存在这样,p = pxp。这意味着因此也因此我们发现P = 20元。我们从定理11这意味着因此因此每bi-ideal P是等幂的。

结论

三元结构和他们的猜测,传说n必要结构使某些预期的角度想象在有机化学中的应用。

引用

1. 洛杉矶的j .扩展的数学模型即基金。1955;42:38-54。
2. Sioson调频。理想在三元半群理论。数学粳稻。1965;10:63 - 84。
3. 圣地亚哥毫升。一些贡献的研究三元半群和semiheaps。博士论文。马德拉斯大学1983。
4. Dutta TK,凹地美国普通的三元环。代数的发展,诉讼在代数和ICM卫星会议相关的话题,世界科学2003;343 - 55。
5. Dutta TK,凹地美国普通的三元环的注意。庆数学杂志46:357 - 65。
6. 演员G, Sarala Y, Srinivasa Kumar B, et al。过滤器在三元半群。Int J化学科学。2016;14:3190-4。