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空间系统识别算法

*通信:

金沙T美国斯坦福大学,机械工程系,电话:+ 1-831-656 - 3954;电子邮件:dr.timsands@stanford.edu

文摘

系统辨识算法使用数据获取数学模型与数据的吻合程度的空间系统,允许的模型用于预测和设计控制系统行为超出了数据的范围。因此,准确的建模和系统的特征方程是非常重要的任何太空任务的特点,尤其是指导和控制需要燃料消费(目前unreplenishable资产在空间)。简单控制算法首先使用数学模型表达的物理管理进行控制,但通常需要更先进的技术来减轻噪音,mismodeled系统参数未知/降低影响,除了干扰。本研究将评估几个选项条数学空间识别方法。自回归移动平均模型将有限脉冲响应滤波器相比,包括相关迭代等包容过去的输入、输出噪声不相关的,相关输出噪声同时递归最小二乘技术相比,指数遗忘也比扩展与迭代最小二乘法实现占后残差。均方误差是系统用于帮助选择和研究揭示了读者的首选方法。这项研究的独特的贡献是帮助读者(通过直接比较)确定技术应该用于不同的情况。

关键字

指数遗忘;后残差;扩展最小二乘;ARMA;冷杉;横向滤波器;递归最小二乘

介绍

空间系统识别常被应用于包括统计方法从给定数据建立数学模型(方程),而一些有用的算法而不是微积分。快速傅里叶变换(1,2确定固有频率)是无处不在的,用于一个特定类的系统模型。哪个系统模型工程师应该选择?必须假设的顺序多高模型是什么?古德温(3假定一个非线性系统模型最小方差估计系统参数和使用。特别是,古德温确定的重要性将白噪声(为统一协方差)和有色噪声。莱文(4]说明最优估计的存在噪声的脉冲响应。Nahi和沃利斯(5]说明系统识别的重要应用程序自动控制。弗里德兰德(6]证明了自适应系统辨识的效用信号处理和Astrom Wittenmark描述后续技术的教科书在自适应控制7]。Slotine [8,9)揭示了自适应控制技术,利用系统数学模型的自适应策略往往能接受的系统标识符。Fossen [10随后Slotine改善的技术与数学简化问题公式化和金沙11]、[12- - - - - -17和金12)开发基于Fossen进一步改进算法的问题公式化Nakatani紧随其后18,19]和Heidlauf-Cooper [20.,21),但可惜没有透露这些改进在Slotine出版的文本。麻烦的是,体育运动(22]阐述了奇异点存在于控制驱动,会加剧或击败控制设计的表达23- - - - - -27Agrawal[]和解决28]。最后,金沙(29日,30.]说明地面实验过程进行系统识别为在轨的初始化方法。根据这些最近的进展,本研究的目的是帮助(通过直接比较)研究人员确定,技术应该用于系统辨识系统控制的潜在动机。

材料和方法

后几种方法相比,将直接为每个技术简要说明设置。经常转移函数模型是一个数学建模环境几乎使用自回归移动平均的假设,本文将从这种技术开始。离散时移运营商将允许设置方法是适用于任意time-indexing离散数据点。方法相比,横向使用有限脉冲响应滤波器假设,然后这两种技术在计算机循环显示所需的迭代和必要model-order对于一个给定的精度水平使用同一组为每个技术“真理数据”。接下来,一些现代技术上实现相同的数据集和结果绘制在同一图方便视觉比较。

一个真理模型(方程1)生成的输出测量时间历史,各种模型的适用性是调查数据准确地代表了真理。我们的目标是确定最好的数学模型来描述系统,生成的事实数据。接下来,比较各种算法将评估其有效性识别这个系统只有事实数据时,没有任何的知识模型或其结构,

(1)

自回归移动平均,模型(ARMA),又名“传递函数模型”

使用相同的噪声测量时程由方程1,生成多项式传递函数未知系数是用于最小二乘算法来找到最佳的估计多项式系数。系统的传递函数的形式7]:

(2)

(3)

n是分母多项式的顺序(一)和m是分子[B]。问ⁿ意味着时间是向前转移n次。注意[A]和[B]矩阵都写在向前移动运营商的“问”。收益率方程乘以4。接下来通过乘以q^{- n}表达的旧数据(即你想避免的表达依赖于向前转移…未来值)导致方程5生产方程6实现转变的时间。Multiplyingout方程7,解出生产方程8。

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

实现时移业务生产方程9日。

(9)

注意到一个稍微不同的等效方程的形式发展10乘以问^{- n}转换时间(sn)生产方程11。

(10)

(11)

因此,分母多项式方程变成12度,解决了y (t)收益率方程13。真相模型方程14生成下面的输入(随机)/输出数据显示在吗图1。下一个任务是估计的顺序模型通过比较均方误差模型系数估计。

(12)

(13)

(14)

图2描述了系统输入和输出。注意输入的控制信号是随机数字提供足够持久的激励来估计模型中所有参数。

(15)

(16)

矩阵形式的真相模型(自回归移动平均,也称为ARMA)变成了15和16个方程,方程:

横向(杉木)过滤器

估计模型使用移动平均只有大小模型第一个(横向或冷杉过滤器),我们忽视之前的输出(y_我(tk)),并使用最小二乘形式的标准。下一步是形式的为每个时间步t矩阵每17,18最小化代价函数方程方程(方程19)20方程的解决方案。

(17)

(18)

尽量减少成本函数(19)

(20)

迭代结果下显示不同的均方误差(MSE)模型订单n^*= n + m, n =数量的输出和m =输入数量模型(图1)。这些结果表明,均方误差减少对数模型订单增加。最好处是获得的3 - 4订单输入的横向(杉木)只包含输入滤波器。当然没有超出5似乎是必要的。

自回归移动平均,模型与过去的输入

相同的最小二乘分析使用一个假定的模型包括过去的输出导致轻微修改吗?然后呢?矩阵方程21。

(21)

对于包含输入和输出的传递函数模型,注意到最低模型为了大致达到最低的~ 10^-20年是n^*= n + m ' = 3 + 3的输入输出。事实上,看来我们可以夸大了模型秩序和实现略有改进的均方误差,但改进的高估了不值得冒这个风险模型秩序。在这个例子中,我们知道这是正确的顺序的模型真相产生输出信号,所以我们知道我们有良好的判断力。分析这篇研究文章的章节3.4和3.5使用3 y (t)和3 u (t)条款(图3)。

真理模型与不相关的输出噪声

接下来,寻求处理模型——不相关的噪声寻求最好的一个假定的评估技术模型在方程22。

(22)

方程22是新的真理模型通过添加一个不相关的输出噪声项ε(t) = N (0, 1)。真相模型用于生成时间吗历史数据样本1000次,然后使用递归最小二乘估计的参数模型从3.3节(n^*= n + m ' = 3 + 3的输入输出)。递归最小二乘(RLS)指数遗忘(RLS-EF)也比较的实现。通常,RLS-EF是有用的,如果你相信你的植物随时间变化。考虑一个航天器的质量模型改变推进剂中使用轨道。在相当大的轨道机动,将有用的触发复位的RLS算法来确定新的最适合模型。这里没有使用的系统方程模型变化,但仍然实施评价算法的有效性。RLS-EF忘记数据随着变老。没有植物的变化,直觉说RLS-EF将不会执行以及RLS。这种直觉是证实了以下结果。λ_英孚= 0.9和λ_英孚= 0.99(不是描述)进行了分析与低性能相比其他算法。λ_英孚= 0.99确实显示边际改善λ_英孚= 0.9,但不够好,比较与其他算法(图4)。

注意到错误的阴谋图3和图4,真正的系数和估计系数的区别揭示我们的估算准确率增加随着时间的推移。注意到RLS-EF波动很大,RLS落定迅速接近零的估计错误。考虑典型传感器抽样在40 Hz ~ 1000样品25秒。RLS工作很快的十进制秒快速方法一个小错误值。

真理模型与相关的输出噪声

现在相关噪声项被认为是和RLS好比扩展最小二乘(ELS)和ELS后残差(ELS-PR)。方程23是新的真理模型(注意每个方程输出噪声的相关条款22)。

(23)

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结果与讨论

使用相同的时间历史执行数据y (t)系数估计使用扩展最小二乘(ELS)。ELS添加噪声假设条件模型并试图估计噪声系数修改每个方程最小二乘变量25。最后,使用相同的时间历史执行数据y (t)系数估计使用后的扩展最小二乘残差(ELS-PR)。在ELS-PR算法,我们计算一个错误输出的区别我们的最佳估计模型和实际的输出。然后我们申报的算法,所有这些错误的区别是ε(t)的示例。

请注意图5- - - - - -9低于ELS-PR显然是优越的。注意RLS是好的开始,但随着时间的推移不一样。艾尔斯比RLS,但仍不能很好地处理相关噪声(记得不相关的错误假设的最小二乘方法)。ELS-PR是最好的方法有最小的错误,一般继续收敛随着时间的推移。

这是特别有趣的图8ELS-PR算法估计错误本身很差,但仍以优越的方式执行系数估计实际的工厂。甚至贫困的估计错误帮助改善植物的估计参数(我们真正关心的事情)。

最后,注意,在图9如何更好ELS-PR执行下面的算法已经被允许运行10000次样本。尽管所有3方法做一个很好估计第一个控制u (t - 1)系数,只有ELS-PR全面执行好。注意,其他2算法收敛,但对很多不正确的值(稳定状态显示的错误)。

结论

本文开发和测试一些算法用于识别和介绍空间系统直接比较的算法在单块很快发现每种方法的相对优势。批处理最小二乘法用于揭示,自回归移动平均(即传输函数)过滤器是优于有限脉冲响应(即横向)过滤器在揭示一个数据集的顺序。下一个递归最小二乘法相比,没有指数遗忘。遗忘是有用的植物方程有一个时变属性时,但对于本文的不同系统的使用指数遗忘显著降低估计性能,所以最小忘记被视为一个明智的选择。前言,递归最小二乘(有或没有指数遗忘)相比,扩展最小二乘(有或没有后残差)。扩展最小二乘进行比递归最小二乘和使用后与扩展最小二乘残差被证明是最好的选择。不相关的和相关的噪音了。特别,扩展最小二乘算法估计噪声系数本身不善,但包含系统中噪声的错误条件模型改进的估计模型方程的参数。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

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