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定性分析和渐近解Gkp-Class与可变色散方程

*通信:

Belashov VYU喀山(伏尔加地区),联邦大学,喀山,俄罗斯,电话:+ 86-27-67863760,电子邮件:davymanyika@yahoo.com

文摘

在本文中,我们研究了动力系统与广义相关Kadomtsev-Petviashvili(通过)色散方程变量和考虑的结构可能multidi-mensional解决方案及其渐近。我们还将展示一些注意事项在构建阶段的系统通过方程的八维相空间的基础上,定性分析的结果KdV-class广义方程。

关键字

动力系统;广义KdV方程;通过方程;多维的解决方案;相空间;定性分析;孤波;结构的解决方案;变量分散

介绍

基本方程

考虑广义Kadomtsev-Petviashvili(通过)方程(或所谓Belashov-Karpman (BK) [1- - - - - -3)方程没有描述耗散和不稳定的条件):

(1)

在横向坐标。Eq。(1)是经典的Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程的完全可积哈密顿系统,在形式的情况下,解决方案1 d(对于βκ< 0)或2 d(βκ> 0)孤波(4,5]。的结构和动态的解决方案non-integrable分析通过中间商模型(1)β,γ= const已经详细研究二维孤子动力学在弱色散媒体(1,2),这是依赖的迹象表明系数β,γ和k的2 d和3 d孤子类型解决方案和单调或oscil-latory渐近。在放射物理学和量子电子学(6渐近线的情商的一维模拟。(1)进行了研究,充分和完整的分类1 d在相空间构建的解决方案。

注意,如果介质的色散是变量,引入高阶色散修正与γ(术语)入KP方程有一个主要的角色。因此,例如,在传播的问题的2 d表面重力和gravity-capillar波“浅”水(3当β分别定义为和H是深度,密度ρ,σ是液体的表面张力系数,可变量,深度H = H (t, x, y),在这种情况下β也变得坐标和时间的功能。类似的情况发生在学习的进化快速的3 d magneto-sonic (FMS)波在磁化等离子体的非齐次和/或不稳定的等离子体和磁场7,8当β是阿尔芬速度的函数

在这些情况下的情况下,当甚至成为等于零是可能的,然而,并不意味着分散在介质完全缺席,只是有必要维持下秩序色散项完全色散方程的泰勒展开式对k,非线性和色散之间的平衡,定义孤子的存在,将是守恒的,第五阶导数成正比这个词将出现在KP方程。因此,如果分散介质不同,有必要考虑BK方程形式(1),即通过方程。

所以,我们的目的是泛化的结果在放射物理学和量子电子学(6)多维情况下当β或/和γ不是常量(离散变量)与由于帐户中给出的结果(3,4]。

避免不必要的繁琐的表达式,考虑Eq。(1)在2 d形成假设。技术的进一步推广使用(以及获得的结果)完整的3 d的情况相当简单,如下我们将演示。假设为了清晰起见,(后者可以很容易地获得的尺度变换通过方程)。

现在,让我们引入新的变量:应用第一然后(1)我们获得对一维方程:

(2)

写在参考坐标系的坐标轴和通过旋转一个角度+ 45 ?相对于轴和

表示(2)实际上意味着情商开始。(1)承认两种类型的1 d的解决方案,和令人满意的第一和第二个方程(2),分别。它是必要的,然而,要记住,这些解决方案的“onedimensionality”不过隐含性假设的线性相关的新变量和在两个坐标,和

积分方程式。(2)在和分别得到相似广义KdV方程

(3)

相互耦合的方式改变上面的坐标。现在,转移到相对应的坐标沿着轴的速度申请变更在方程式。(3)和省略“素数”为简单起见,我们写方程式。(3)标准形式:

(4)

所以,我们现在可以进行分析只有一个广义方程(3),然后,让逆变化的变量,结果扩展到二维的解决方案通过方程(1)

定性分析了一维方程

考虑到更一般的情况下我们扩展类的方程式。(4)通过引入非线性项的任意正指数p:

(5)

方程(5)KdV方程通常是当p = 1,这是修改后的KdV MKdV方程当p = 2。(5)渐近的首次调查[p = 11,9),结果表明,根据信号的系数β和γ孤子类型解决方案与单调或振荡渐近。但是注意,Eq。(5)和不完全可积(即。,the known analytical methods such as the IST method, are not applicable to this equation). In Radiophysics and quantum electronics [6Eq。(5)调查了渐近和定性分析的方法,因此,充分构建分类的解决方案。在本节中,我们主要是遵循放射物理学的思想和技术和量子电子学(6]。

注意,从物理的角度来看,情商的情况。(5)p = 1, 2是最有趣的,应用p > 2目前未知。然而,由于方程的家庭(5)与一个任意整数p > 0演示,在相当大的程度上,类似的数学特性,我们在这里使用一个通用方法阐明,除了其他的依赖的特点,解决方案的非线性指数。

执行转换和集成(5)我们获得:

(6)

假设不失一般性和改变后,我们将(6)

(7)

在哪里

根据V的迹象(7)可以考虑以下两种情况:

然而,作为一个从(5)可以看出,波的速度,V,取决于方程的系数和限制:

右手边的不平等(9)对应于[1}结果和比较这些关系表达式(8)和(8 b)会导致矛盾的情况下和分别。因此,下面我们将考虑有限的情况下(a)和(b)和

定性分析和渐近线的解决方案

首先,我们注意到,每一组方程(8)相当于一阶常微分方程的集合

(10)

的点站哪里?衍生品,括号中的信号对应于上述三种情况;此外,解的方程式。(10)是稳定的,如果存在的奇异轨迹成像点在相空间中一组(10)。每个轨道的有关平衡状态附近的最大soliton-like解决方案和边界假设的边界条件

(11)

我们可以找到(10)的数量以及奇异点的坐标:

(12)

那里的分和分别对应和函数的弯曲点奇怪和j = 2,甚至3 p,在过去的情况考虑真正的根源(12)我们立即得出结论(使用斯图姆定理),奇怪的p有两个奇异点,甚至对任何p有三种奇异点。奇异点之间的距离定义的振幅soliton-like(6)的解决方案。此外,非线性指数p的值定义了一个字符的依赖对于p > 1这种依赖成为非线性(图1)与已知的线性一个p = 1(例如,KdV方程)。作为一个可以看到的图1,甚至p情商的解决方案。(6)可以有积极的和负极性对于任何V的迹象。

调查奇异点的类型,需要线性化的一组(10)在附近的每一个点。利用泰勒公式,我们从方程式获得。(10)(6]:

1)奇点对应于(6),考虑到条件(11),

2)奇点对应于

自组(13)本质上是四维的,我们调查他们通过扩大相应的规范系统的子系统(4]。在这种情况下,可以考虑相位的线性肖像集(13)作为奇异点和轨迹的预测到两架飞机。对奇异点我们得到的特征值矩阵集合的子集(13.1)4)相应阶段的飞机P1 (w x₁)和P2 (x₂,x₃)是由:

(14)

(一)是真实的在相平面P1和纯虚构的相平面P2,除此之外,两架飞机。在(b)考虑到条件(9),特征根和与积极的和消极的实部是复杂的飞机P1和P2,分别和在(b)考虑到条件(9.2),所有四个根是真实两架飞机。因此,奇异点w1 = 0的相空间中存在三种类型,即:“saddle-center”点,“稳定focus-unstable焦点”点,和“saddle-saddle”在上述情况下,分别。

考虑通过类比子集对应的矩阵为奇异点(13.2)得到特征值w_j由(12)在三种情况下考虑子集对应阶段的预测空间P1 (w x₁)和P2 (x₂,x₃)[6]:

(15)

从(15)可以看出,奇异点的特性取决于非线性指数p波速度的定义。然而,条件(9)仍然有效,在这种情况下。

(15)的分析可以得出以下。特征值和是复杂的(而且在飞机上与积极的部分P1和飞机上的消极P2,以防(a)考虑到条件(9.1)。(b)和在飞机上是真实的P1和纯虚数平面P2,然后呢在这两种情况下。在(b)情况类似的情况(b)因此,只有wj奇异点的类型“稳定focus-unstable焦点”发生在相空间(a),和类型的“saddle-center”发生在(b)对β的迹象。

研究全球阶段包括肖像奇异轨迹对应的方程式的稳定的解决方案。(10),在孤波在分散复杂的媒体4,6]Bendixon和霍华斯标准使用,也是第一个和第二个李雅普诺夫数量计算。这里省略繁琐的数学计算,我们注意到在所有这三种情况下,被认为是闭合轨迹在相空间。,公式(14)和(15)等参数曲线使我们获得他们的方向,因此,角度对坐标轴上飞机,和,因此,构建全球阶段肖像。

这种阶段的例子画像为例(a)和(b) p = 1, 2所示图2一个和2 b和图3一和3 b。

用特征根的值和(14)w奇异点₁= 0,考虑到条件(9)和(11)我们获得情商的渐近解。(5)认为例(4),即:

1)的情况下(a)和(b)

(16.1)

(上/下信号与例(a)或(b),分别);

2)的情况下(b)

一个₁,一个₂和Θ任意常数。从(16)我们可以看到,在(5)的解决方案依赖V和β的迹象孤波的单调和振荡渐近。在此,相图所示图2一个和2 b对应于单调的渐近的孤波,和相图所示图3一和3 b对应于孤波与振动渐近。图2 c和3 c情商的显示数值积分的结果。(5)对初始条件渐近分析的结果相对应。

泛化的结果BK-class方程

使逆变化的变量,结果扩展到二维的解决方案通过方程(1)解决方案是由关系的渐近(3,4]:

(17)

一个₁,一个₂和任意常数,和(这里的“+”和“-”迹象与第一和第二集方程(2),分别)。从(17)我们可以看到,(18),孤波与单调以及振动渐近可以根据V的迹象和β的解决方案Eq。(1),(注意,和任何解的方程式。(2)形式,因此,也形容孤子与单调的渐近(3,4]。)图4显示了情商的数值积分的结果。(1)初始条件,证实了我们的渐近分析的结果。

其他相关的迹象V和β不意识到3,4]。

的适当的变换系统的相位肖像和“绑定”的二维方程,由于相空间是八维在这种情况下,我们可以使用的结果5,6)耦合的特点,每一个每一个方程的奇异点的设置(2)八维相空间,在这个四维子空间的奇异点的类型(4)根据坐标逆变换,是没有改变,只有参数相对应的解决方案相同的肖像类变化(导致相应的振幅等参数变化,战线陡度,振荡频率等)(7- - - - - -9]。

结束语

最后,我们注意到BK方程我们只考虑特定的情况下可以忽略耗散的影响和不同类型的不稳定。在其他情况下有必要考虑耗散和不稳定,导致更复杂的波结构同时出现的所有讨论的影响,例如,在孤波在分散复杂的媒体(4可以观察到)。事实上,结果数值(10- - - - - -12),证明BK模型(4)与在波场的高斯随机波动(谐波初始条件和初始条件的形式单独脉冲)就可以形成稳定soliton-like类型的波系结构,与时间演化。此外,也就可以形成稳定的孤子结构这种情况下的分析研究是高度复杂的,然而,尽管上述方法可用于。还请注意,这里给出的结果通过方程可以是非常有用的学习解决方案时和解释多维阶段更加复杂多维的肖像模型方程(3,4,13]。

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