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双霍普夫分岔参数化的简支矩形薄板和外部荷载

*通信:

周Y、数学科学学院、内蒙古师范大学,呼和浩特010022,中国,电话:+ 864714392030;电子邮件: (电子邮件保护)

文摘

基于奇点理论,双霍普夫分岔问题有四个边简支的矩形薄板的联合行动下研究了参数激励和外部激励的主要参数共振和内部共振。考虑弱阻尼和弱激发,薄板系统的分岔方程,并给出了薄钢板系统的分岔图在参数平面上。然后,固定解决方案和矩形薄板的稳定性进行了分析。

关键字

双霍普夫分岔;分类和展开;薄板;周期解

介绍

近年来,许多学者开始关注一些非线性动态系统的双重霍普夫分岔。共振双霍普夫分岔将导致复杂的非线性动力系统的动态现象,如环和周期轨道,期翻倍,同宿和heteroclinic连接和混乱。

Nayfeh和杂志型图书1]研究了高维动力系统对纯虚根。当地的动态行为双重霍普夫分岔分析了用频域方法混乱和蔡2]。谢的庞加莱映射和丁3)研究了三自由度弧菌影响系统双霍普夫分岔和不变的花床,丰富的分岔现象。于(4)被认为是类的非共振双霍普夫分岔的动力系统通过使用计算机代数,和非线性动态系统的规范形式计算了多尺度的方法,和双霍普夫分岔的计算程序。

的双重霍普夫分岔研究了一类时滞微分动力系统利用范式理论,和平衡的稳定点的线性系统分析了奥罗兹和斯捷潘5]。陶醉et al。6)考虑的双重霍普夫分岔问题类的耦合电路系统,和参数分岔图。张、徐(7霍普夫分岔)使用定理研究非共振的双重霍普夫分岔Van der Pol-duffing系统随着时间的延迟。

好和Belair8]分析了共振双霍普夫分岔点的标量时滞微分系统利用范式理论。贝尔和Reartes [9霍普夫分岔研究,双霍普夫分岔和互相掠夺者van der Pol-duffing系统的分岔。使用规范形式方法和中心流形定理,李et al。10]研究概周期吸引子和双霍普夫分岔响应延时耦合的系统。系统的分岔图是由数值模拟。对于高维非线性系统,由于方法的局限性,研究系统的共振双霍普夫分岔并不完美。

1:2共振双霍普夫分岔现象的几种动力系统研究了坎贝尔和勒布朗11]。sidney et al。12)被认为是1:2和1:3共振双霍普夫分岔利用多尺度的方法。随后,徐和涌13]研究1:2类的霍普夫分岔现象的范德堡尔与时滞动力系统,并说明存在codimension-2或codimension-3分岔行为。凯西:l共振双霍普夫分岔行为的微分方程研究了kg et al。14]。陶醉et al。15]研究了2:3resonant双霍普夫分岔的四维自治系统,系统的全局分岔行为进行了分析。萨利赫和魏格纳16]分析了1:2和1:3共振双霍普夫分岔利用奇点理论和范式理论和周期解的稳定性分析和概周期系统的解决方案。王、徐(17)被认为是1:3共振时间延迟系统的双重霍普夫分岔。

薄钢板被广泛应用于航空航天等工程领域。近年来,非线性振动已经取得了很大进展,薄板的动态分岔问题。Hadian和Nayfeh18)用多尺度的方法来研究固支圆板的非线性响应在谐波激励下的内部共振。杨和Sethna [19)调查了当地的分岔和方形薄板的全局分岔参数激励通过使用平均法和显示系统的混沌运动在某种意义上可以斯梅尔马蹄。

的全局分岔和混沌动力学与四边简支矩形薄板在参数激励和外部激励的联合行动研究了Zhang et al。20.,21]。Awrejcewicz和Krysko22]分析了周期性,概周期和混沌运动薄板在纵向和时变负载。Awrejcewicz和Krysko23)使用Bubnov-Galerkin方法研究弹性薄板的非线性动态响应系统。的帮助下能源阶段方法,姚明和张(24]研究了多脉冲下薄板的混沌动力学参数激励和外部激励的联合行动。Zhang et al。25)的多脉冲混沌动态响应Shilnikov类型的非自治屈曲薄板在参数激励使用高维Mlenikov方法。支持简单的圆板的非线性振动响应研究了Akour和Nayfeh26]。周和张(27]研究了压电复合材料的双霍普夫分岔与合并后的外部激励和内部激励通过使用多尺度和奇点理论的方法,然后分岔图,不同的稳态解的非线性系统的平均方程进行了分析。

本文旨在研究的双重霍普夫分岔与四边简支矩形薄板在参数激励和外部激励的联合行动。我们首先使用多尺度的方法将两自由度非线性系统转换为自治方程。两种不同的平均坐标方程,分析了薄板。的存在周期和概周期运动的非线性系统在一定条件下的数值模拟,和分岔的分类方案的非线性系统在参数空间的不同区域进行了分析。

实验

矩形薄板的双重霍普夫分岔与主参数共振,即。1:3内共振

我们考虑下简支矩形薄板在四个边缘,它的长度一个和b和厚度h。薄板受横向激励和内部激励。笛卡尔坐标系统所示图1。

坐标含氧的位于中间薄钢板表面,u吗?v和w是一个点的位移的薄板表面吗x吗?y和z方向,分别。

根据贾(28),使用汉密尔顿一家原理和Reddy剪切变形理论,我们得到了两个自由度的非线性动态方程可以写成如下,

(1)

(1 b)

假设非线性系统(1)是弱非线性系统,添加一个小的扰动ε阻尼项,参数激励条件,外部激励项和非线性项,我们得到以下方程,

(2)

(2 b)

考虑主参数共振,即。薄钢板,内部共振;我们有以下共振关系:

在那里,σ₁和σ₂有两个去谐参数。

为便于分析,让Ω= 3。采用多尺度的方法(1),我们获得的平均方程薄板在复数形式,

(4)

(4 b)

笛卡尔的平均方程形式将表示为,

(5)

(5 b)

(5 c)

(5 d)

让

(6)

把方程(6)方程(4),平均方程薄板的极坐标形式得到如下:

(7)

(7 b)

(7)

(7 d)

为了研究稳态解的方程(7),即方程的周期解或准周期性的解决方案(2),让左侧方程(7)等于零。然后,薄板的分叉响应方程可以写成,

(8)

(8 b)

接下来,我们将考虑各种固定解的方程(8)及其与变量参数的变化情况为了方便分析,在方程(8)和(8 b),分别然后方程(8)可以表示为:

(9)

(9 b)

简化后,得到薄板的分叉响应方程如下:

(10)

(10 b)

让,

(11)

把方程(11)方程(10),我们得到了以下几个不同的分岔方程(10)固定解决方案。具体情况如下。

(1)由于以下条件满足,也就是说,

(12)

三个解决方案将为方程(10)存在,可以写成:

(13)

(2)当也就是说,

(14)

和

(15)

然后,方程(10),有两个解决方案

(16)

在哪里

(17)

(18)

如果以下条件还满意,

(19)

方程(10)将有一个解决方案,即

(20)

如果有

(21)

有三种解决方案方程(10),可以写成:

(22)

如果有

(23)

然后,有以下两种解决方案为方程(10),

(24)

(4)最后,当也就是说,

(25)

将有三个情况对方程(10)的解决方案,即

如果有

(26)

方程(10)将有一个解决方案

(27)

如果有

(28)

方程(10)将有两个解决方案:

(29)

如果有,

(30)

方程(10),那么将会有三个解决方案

(31)

在哪里

(32)

为了确定解决方案的稳定性方程(7),我们应该考虑的雅可比矩阵方程(5)。的雅可比矩阵方程(5)零解点写成:

(33)

对应的特征方程

(34)

和特征值,

(35)

雅可比矩阵非零解的方程(2)可以写成:

(36)

对应的特征方程,

(37)

为了方便表达,特征方程(37)可以表示为:

(38)

的特征值方程(5),

(39)

方程的系数(38)和(39)如附件所示。

基于上述分析,非零解的稳定性条件是:

(40)。

(41)

(42)

发现从上述分析,解决方案中给出方程(13)、(16)、(20)和(27)可以满足条件的方程(42),而解决方案由方程(24)和(29)不满足条件的方程(42)。

基于分岔理论,参数平面上分为几个不同的地区的稳定临界曲线的稳定的解决方案。这些关键曲线给当地的非线性系统的分岔集(2)所示图2。

数值模拟

在本节中,我们使用枫木研究的非线性振动响应的组合效应作用下简支矩形薄板在横向励磁、平面与主参数共振激发和1:3内共振。

根据上述分析,我们选择的参数和初始值方程(2)

当地的分岔图是描述对四边简支矩形薄板在参数平面上所示图2。

(1)在A1和A2,零解是唯一的奇异点。从方程(36),我们知道奇点是地区稳定的焦点A1,因此,零解是稳定的,奇异点是在该地区的不稳定焦点A2,因此,在这种情况下零解是不稳定的。

(2)当越界L3零解改变其稳定,一对共轭复数特征值方程(2)穿过虚轴,成为一双简单纯粹的虚构特征值,系统(1)发生霍普夫分岔,从初始点和极限环将发生。当越界L2和L4零解的稳定性也将改变,两双共轭复数特征值将穿过虚轴,成为两个简单纯粹的虚构特征值,系统将双霍普夫分岔。

(3)在B1、B2和E,稳定的解决方案的数量保持不变,稳定的解决方案是稳定的。

(4)当穿越曲线L1从面积B1到C1,弧L1,方程(2)的一个特征值为零,然后奇异点的稳定性非线性系统敏感地依赖于不同参数方程(10)。在该地区的C1,奇点是一个鞍点,零解是不稳定的,和系统将产生音叉分岔,也就是说,两个非零解将从零分叉解,如方程(16)所示。

(5)当穿越曲线L1从面积B2为C2,曲线L1,一个特征值为零,另两个非零解分叉的零解,如方程(29)所示,非线性系统(1)产生音叉分岔。它很容易知道两个非零解是不稳定的。

(6)在该地区的D,方程(27)的解决方案是一个鞍点,所以这个解决方案是不稳定的。

图3- - - - - -8代表了不同形式的矩形薄板的非线性振动特性,分别。在下图,图(a)和(b)表示平面上的二维相图分别。图(c)和(d)是飞机上的波形图分别。图(e)和(f)是三维空间的相图分别。

选择压电复合材料的阻尼系数和调优参数μ= 0.21σ₁= 0.17面积A1图2。我们获得附近的非线性振动矩形薄板的平衡方案,如图所示图3。从相图3(一个)和图3 (b),我们知道系统的解决方案倾向于零的解决方案。然后,它是渐近稳定的。

继续改变阻尼系数和调优参数μ= 0.09的矩形薄板和σ₁= -0.18 A2地区图2。矩形薄板的非线性振动所示图4在固定的解决方案

当阻尼系数和复合叠层压电陶瓷板的调优参数μ= 0.30σ₁= -0.68,μ= 0.30σ₁= -1.92 B1区和E图2,分别。矩形薄板的平衡解决方案将产生霍普夫分岔。矩形薄板的非线性振动周期运动,如图所示图6和图7。

让μ= 0.67和σ₁= 0.4 B2地区图2,我们获得了1:3共振双霍普夫分岔。随后,矩形薄板的非线性响应是概周期振动,如图所示图8。

结果,讨论和结论

基于奇异理论对于高维非线性系统,双霍普夫分岔研究了矩形薄板的主参数共振,即。1:3内共振。

利用多尺度方法,矩形薄板的平均方程。此外,矩形薄板的分岔方程。通过分析系统的分岔方程的矩形薄板的非线性动态响应分析参数平面上的基于分岔图所示图2。选择阻尼系数,外部激励,激发参数和去谐参数不同的值,矩形薄板的非线性振动形式进行了分析参数和外部激励的联合行动下使用数值方法,如所示图3- - - - - -8。理论和数值结果表明,霍普夫分岔和双矩形薄板的霍普夫分岔发生。

进一步的研究工作将在此基础上完成论文,如细节的局部和全局分岔分析压电复合材料叠层板,和调查的分类和压电复合材料叠层板的展开。

确认

作者欣然承认中国国家自然科学基金委的支持(NNSFC)通过批准号。11402127,11290152和11290152,融资项目学术人力资源开发在北京高等学校管辖(PHRIHLB)。

引用

1. Nayfeh啊,杂志型图书DT。。威利,纽约;1979年。
2. 混乱AI,蔡美儿瞧。的Hopf bifurcation theorem and its applications to nonlinear oscillations in circuits and system . IEEE T Circuits. 1979;26:235-54.
3. 谢JH,叮WC。vibro-impact系统。Int J Nonlin机甲。2005;40:531-43。
4. Yu P。双霍普夫分岔分析用计算机代数多尺度的帮助。。2001;27:19-53。
5. 奥罗兹G,斯捷潘G。亚临界民霍普夫分岔模型反应时间延迟。。2006;462:2643 - 70。
6. 陶醉G,阿隆索DM, Moiola杰。。Int J Bifurcat混乱。2008;18:481 - 94。
7. 张Y,徐j。Int J Nonlin Sci Num。2005; 6:63 - 68。
8. 好PL, Belair j。J Equat不同。2003;189:234 - 66。
9. 贝尔,Reartes w。Int J Bifurcat混乱。2012;22:109-29。
10. 李YQ,江泽民WH,王HB。。肛门:。2012;387:1114-26。
11. 坎贝尔SA,勒布朗VG。J达因Diff Equat。1998; 10:327-46。
12. sidney, Paolone, Egidio广告。和共振霍普夫分岔。非线性力学。2003;34:269 - 91。
13. 徐J,钟KW.Double霍普夫分岔与强烈的共鸣与nonlinerities延迟系统。数学Probl Eng。2009:1-16。
14. 狄克kg HW,房车,Vitolo r . quasi-periodically驱动振子的共振,p . SPT奥特朗托国际会议上。2007;47:71 - 80。
15. 陶醉G,阿隆索DM, Moiola杰。振荡模式之间的相互作用在2:3共振Hopf-Hopf分岔。混乱。2010;20:1-8。
16. 萨利赫K,魏格纳F。Semi-global周期和准周期normal-internal共振分析。。2010;23:2219-52。
17. 王W,徐J。多尺度分析与共振。双霍普夫分岔。2010;66:39-51。
18. Hadian J, Nayfe啊。。J声音振动器1990;142:279 - 92。
19. 杨XL, Sethna公关,局部和全局分岔参数化激振动近方形盘子。Int J Nonlin机甲。1991;26:199 - 220。
20. 刘张W, Yu P, ZM评选。2014;24:245 - 68。
21. 张w。J声音振动器2001;239:1013-36。
22. Awrejcewicz J, Krysko VA。。Int J Bifurcat混乱。2002:12:1465 - 1513。
23. Awrejcewicz J, Krysko AV。分析复杂的参数振动板和壳使用Bubnov-Galerkin方法。拱:科学。2003;73:495 - 504。
24. 姚明MH,张w类型多脉冲轨道和混沌动力学参数化和外部兴奋矩形薄板。J Bifurcat混乱。2007;17:851 - 75。
25. 张JH,张W,姚明MH, et al。Int J Nonlin Sci . 2008; 9:381 - 94。
26. Nayfeh摩根富林明Akour SN。非线性动力学的polar-orthotropic圆形盘子。Int J Struct刺Dy。2006; 6:253 - 68。
27. 张周Y, w .双霍普夫分岔的复合叠层压电板受到内部和外部荷载。:数学科学病杂志。2017;38:689 - 706。
28. 贾CY,板的非线性分析。麦格劳-希尔;1980年。