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，卷:6(2)

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Navier-Stokes方程的一种新的分裂方法

*通信:

Amattouch先生阿卜杜勒马利克·艾萨迪大学科学与技术学院数学系，BP.416，摩洛哥丹吉尔，电话:5399 - 79095 + 212;电子邮件: (电子邮件保护)

摘要

本文研究了求解时间相关不可压缩Navier-Stokes方程的鲁棒分裂方法。所提出的方法是基于的分析步骤计算采用旋涡法计算速度，采用泊松方程计算压力。采用优化的区域分解方法求解泊松方程。分析问题的几个测试用例说明了这种方法，并表明了所提出的新方法的有效性

关键字

n - s方程;分裂算子;涡方法;优化域分解

介绍

本文的目的是提出一个新的分裂算子在有界域上求解非线性不可压缩Navier-Stokes方程，使:

(1）

一个关于压力条件的问题具有唯一性。

在工程和空气动力学中的应用经常导致由这些方程的大系统组成的模型。例如，直接湍流模拟(DNS)需要求解大型Navier-Stokes方程。由于模型的大小，使用直接的，众所周知的近似方法，如有限元，是不可行的，需要划分或分割的问题。

在Navier-Stokes行话中有很多分裂算子;我们可以引用Chorin的投影格式，Van Kan的投影格式和Glowinski的分裂格式。当然，还有其他更准确的拆分方法[1-5]但在这里我们研究了一种分割方法，将Navier-Stokes方程转换为易于求解和在软件中实现的方程。方程中含有非线性项，不对称，用隐式格式求解时间较长，显式格式往往不准确。因此，本文提出的劈裂方法通过对方程的非线性项和粘性项的解析解来解决这一问题。然后我们得到压强和速度的方程我们把它分离成泊松方程空间以及一个涡法易于求解的方程[6，7］．为了快速求解泊松方程，提出了一种新的区域分解方法。该方法基于子域间界面的分数阶导数传递条件，在两次迭代中收敛。

在本工作的最后，你可以找到一些与解析解比较的数值实验，有效地说明了我们所提出的方法的有效性。

分裂法

在本节中，我们提出了(1)式的分裂方法，其中我们解耦u和p并分离对流扩散不可压缩性术语:

设N为正整数，n= 0,1…，N be a uniform partition of the time period [0, T].

我们考虑中间时间

我们把最开始的U₀= u₀并承认这两步:

（2）

然后我们解，

（3）

通过应用散度和旋转，这个方程等价于下面两个方程:

（4）

和

（5）

在哪里．

采用间断伽辽金法求解这两个方程，以保证薄网格中最优的正则性、精度和连续性。

注意，式(5)是一个微分方程组，很容易解析求解。

讲话

替换由式(3)可得:

(6）

这个结果表明，我们的方法每次收敛于p阶。

在狄利克雷条件下，式(2)中的步骤1替换为:

(7）

ψ是一个验证函数并且在Ω上设置:div ψ = 0

区域分解方法

域分解方法是将初始问题分解为两个或多个维数较小的子问题，从而提高了计算速度。在过去的几十年里，许多作者研究了区域分解方法[8，9］．在这些方法中，我们考虑了二阶优化方法OO2。这种方法是由不同的作者提出的[10，11］．我们将OO2方法表述为[10，11用于反应平流扩散方程，然后我们将这个方法应用到泊松方程。

例如，我们将域Ω拆分为两个子域Ω₁和Ω₂使用接口Γ (图。1）.

然后我们建立两个序列u₁^P和你₂^P分别求解如下两个子问题:

我们选择两个声母函数u₁⁰定义于Ω₁和你₂⁰定义于Ω₂然后我们考虑两个问题:

（8）

而且

（9)

在那里,

（10）

（11）

N和τ是Ω上的法线和正切₁

根据傅里叶分析，傅里叶方法的收敛速率为[6]

（12）

在那里,

（13）

为了优化方法，我们需要优化收敛速度，因此我们寻找:

我们证明了([9])当c>0且sign(b)=sign(c₂)及C_3.≥0,

在我们的工作中，我们处理了c=0的泊松方程，使得OO2方法不收敛。为了避免这个问题，我们提出了一个非对称接口条件，保证了我们的方法的两次迭代收敛:u₁⁰定义于Ω₁那么第一步就是解决:

然后我们求解下一个迭代:

(14）

分数阶卡普托导数是多少?

我们过去证明了傅里叶变换的收敛速度是两阶的，使用结果:

(15）

数值模拟

在数值上，我们实现了这些方法来求解解析的强迫流和非强迫流。所考虑的问题，使用分析强迫产生精确解。测试问题设置在x方向具有周期性边界条件且y=0和y=1处无流动边界的通道中。这个几何图形是考虑滑移边界条件的最简单的设置。在y=0处规定无滑移条件，在y=1处规定非平凡滑移条件。来自更复杂几何图形的结果将在后续工作中报告。

解析解为:

（16）

(17)

（18)

(19)

对粘度为ν=1的Navier-Stokes的模拟给出了速度的结果:图。2来图。5．

对于压力:图6。-Figure.11．

对于一个62 × 64网格，t=0.1 s的网格，在一些常见的测试函数上，无限值在10-8的数量级。这证明了我们的方法相对于一般投影法的有效性。在这个模拟中，我们已经将我们的域分解为4个子域和16个子域，并且我们使用MATLAB的并行库来实现代码，使用核心4双奔腾计算机[12，13］．

结论

在这项工作中，我们开发了一种新的鲁棒算法，应用于非线性Navier-Stokes方程。首先，提出了一种基于解析变换和涡流法的劈裂技术。通过这种方法，我们将复Navier-Stokes方程分解为两个简单的方程:一个泊松方程和一个易于求解的独立微分方程系统。我们用复杂的区域分解方法求解泊松方程，这使得我们的算法非常快。

其次，我们给出了几个测试用例来证明这种方法的有效性。基本结果是，与传统求解器和经典求解器相比，我们获得了高精度和快速的方法，并优化了算法的收敛速度。

结合当前的工作，我们可以研究以下几点:

•将该方法应用于方形管道中的湍流流动。

•将该方法推广到多维非线性可压缩欧拉方程和复杂非对称方程。

•将该方法应用于具有复杂几何形状的非线性方法。

•提出一个真实的应用流体动力学或者环境科学。

参考文献

1. Chorin AJ。Navier-Stokes方程的数值解。数学，1968;22:745-62。
2. 柯林AJ，马斯登JE。《流体力学数学导论》第3版，Springer-Verlag;1993.
3. 鄂渭南，刘建刚。投影方法一:收敛和数值边界层。SIAM J数字。1995年,32岁,(4):1017 - 57。
4. 范KanJ。粘性不可压缩流的二阶精确压力修正方案。科学通报。1986;7:870-91。
5. Karniadakis GE，以色列im, Orszag SA。Navier-Stokes方程的高阶分裂方法。计算物理学报。1991;39(2):414-43。
6. Cottet GH, Gallic SM, Raviart PA。不可压缩欧拉和Navier-Stokes方程的涡方法。IMA Vol数学应用，1988;12:47-68。
7. 杨振华，杨振华。涡流法。中华医学会杂志，1985;22:413-40。
8. QuarteroniA ValliA。偏微分方程的区域分解方法。牛津科学出版物;1999.
9. ToselliA。区域分解方法-算法与理论。施普林格;2010.
10. 雄鹅乔丹。优化，Schwartz方法。中国生物医学工程学报。2006;44(2):699-731。
11. Nataf F, Rogier F,De SturlerE。区域分解方法的最佳界面条件，CMAP, EcolePolytechnique, 1994。
12. Manuel D, OrtigueiraJA, MachadoT。分数阶导数是什么?J ComputPhys.2015; 293:4-13。
13. 曾峰，李昌。未知函数Caputo导数的数值方法。物理学报，2013;11(10):1433-39。